:::...BİLİM-HABER...:::

Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır.) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.

İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru , sayılar kuramının yılladır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. "Hardy-Littlewood sanısı" ikiz asalların dağılımı üzerine "asal sayılar teoremi" ne benzer bir varsayımda bulunur.

Viggo Brun, ünlü " eleme metoduyla" bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log)² den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu göstermektedir (bakınız Brun sabiti). Bu tüm asal sayı çiftlerinin toplamının ıraksadığına terstir (p ve p' asal sayılar ve k bir doğal sayı olmak üzere p-p'=2k, bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayımına gidilir; bahsi geçen tüm asal sayı çiftlerin toplamı k değişken olmak üzere p ve p' lerin toplamıdır). Brun ayrıca her çift sayının, en fazla 9 tane asal çarpanı olan iki tane sayının farkı olarak sonsuz biçimde ifade edilebileceğini göstermiştir. Chen Jingrun'un ünlü teoremi göstermektedir ki herhangi bir m çift sayısı için m ile aralarında en fazla 2 tane asal çarpanı olan bir sayı kadar fark olan asal sayılardan sonsuz tane vardır.

3'ten büyük her ikiz asal sayı çifti, bazı n doğal sayıları için, (6n-1 , 6n +1) şeklinde ifade edilir.

Öyleki n, 1'e eşit değildir ve 0, 2, 3, 5, 7 veya 8 ile sonlanmak zorundadır.

m ve m+2 sayı çifti ancak ve ancak

durumunda bir ikiz asal sayı çiftidir.

2005 yılına gelindiğinde bilinen en büyük ikiz asal sayı çifti 16869987339975 · 2¹⁷¹⁹⁶⁰ ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafından 2005 yılında bulunmuş olup 51779 haneli sayılardır.

4,35 · 10¹⁵ e değin yapılan tüm asal sayı çiflerin deneysel analizi göstermektedir ki x den az çift sayısı x·f(x)/(log x)² dir. Burada f(x) küçük değerli x ler için yaklaşık 1,7 dir ve x sonsuza giderken yaklaşık 1,3 e kadar azalır. f(x) 'in limit değeri "ikiz asal sabiti" ne eşit olduğu varsayılmaktadır.

Bu varsayım ikiz asallar sanısını gerektirmektedir ki hâlâ çözümsüzdür.

Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir. Sanı: Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:

...En azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır...

Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terk edilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)
Kuvvetli ikil varsayım, 3'ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerıkan doları ödül vaadetmiştir, fakat sanı halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır.

İkil sanı şöyledir:

ve için olacak şekilde ve asal sayıları vardır. ( olabilir)

Her bir Goldbach bölüntüsü olarak adlandırılır. Daha zayıf olan ikinci sanı sadece 8'den büyük olan her tek doğal sayının en az 3 asal sayının toplamı olduğudur. Erdös ve Moser ve 'nin asal olma koşulunu kaldırarak bu sanının daha genel anlamda doğru olup olmadığını araştırmışlardır.

Riemann Hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından formülize edilmiş çözülememiş problemlerden biridir.

Bazı sayıların kendilerinden küçük sayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı herhangi bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Bernhard Riemann, Asal sayıların sıklığının;

s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm Kompleks sayılar için

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre

ζ(s) = 0

denkleminin tüm çözümleri düz bir çizgi üzerinde yer almaktadır. Yani bu denkleminin tüm komplex çözümlerinin reel kısımlarının 1/2 olduğu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için test edilmiştir. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktır.

Bütün sonsuzlar eşit değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ınkinden fazla olduğu biliniyor. Daha da doğrusu gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ın alt kümelerinin sayısına eşit olduğu. Genelde ile doğal sayılar'ın sayısı ifade edilirken, bu durumda gerçel sayılar'ın sayısının olduğunu görüyoruz. Süreklilik hipotezi bu iki sonsuzluk arasında başka mertebelerde sonsuzluk olup olmadığı sorusunu sorar.

Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel bu soruya verilecek negatif bir cevabın kümeler teorisi ile tutarlı olduğunu, Amerikalı matematikçi Paul Cohen ise bu soruya verilecek pozitif bir cevabın da kümeler teorisiyle tutarlı olduğunu ispatlamışlardır. Dolayısıyla bu soru bir matematik sorusu olmaktan çıkıp bir matematik felsefesi sorusuna dönüşmüştür.

Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın(ayrıntı için tıklayınız) 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.

İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.

Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise

ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.

Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin tekniklerini kullanır